5. Animace STR samostatné části
1. Seznámení,
2. Co je to skutečnost,
3. Synchronizace hodin,
4. Měření kontrakce délky,
5. Skládání rychlostí,
6. Současnost událostí,
7. Dilatace času,
8. Rozloučení.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
FYZIKÁLNÍ
KOMENTÁŘ
Animace
samy o sobě by měly být srozumitelné a pochopitelné. Na tomto místě spíš
zdůvodňujeme, proč jsme se rozhodli pro ilustraci určitého pokusu daným
způsobem, co bylo potřeba vzít v úvahu, co bylo nutné zanedbat apod. Pro tuto
textovou podobu práce zde místo animací nabízíme k nahlédnutí alespoň obrázky z
jednotlivých scén a text nahraných dialogů, které animace obsahují. V textu
jsou zdůrazněny tučně slova nebo věty, ke kterým uvádíme na následujících
stranách fyzikální komentář.
5.1. ANIMACE PRO STR
V
denní praxi není důvod zabývat se způsobem, jakým se měření provádí. Všichni,
kdo měří, by měl získávat stejné hodnoty. Předpokládejme, že jsme v letadle a
že chceme zjistit jeho délku. Vše, co musíme pro to udělat, je přiložit konec
měřidla na jeho příď a na druhém konci zjistit jeho délku.
Ale
pokud stojíme na zemi a letadlo letí nad námi? To se nám věci trochu komplikují,
protože letadlo, které nese informaci pro náš měřicí přístroj, se pohybuje.
Podle Einsteina se naše měření délky, času a hmotnosti bude lišit od hodnot
naměřených někým jiným na palubě letadla.
Einstein
vyšel ze dvou postulátů. První se týká platnosti fyzikálních vztahů ve vztažných
soustavách. Pokud řekneme, že se někdo pohybuje, míníme tím, že se jeho pozice
vzhledem k někomu jinému mění. Cestující jdoucí uličkou mezi sedadly se
pohybuje vzhledem k letadlu, letadlo se pohybuje vzhledem k Zemi, Země se
pohybuje vzhledem ke Slunci, atd.
Pokud
jsme v nákladovém prostoru letadla, který je bez jediného okénka, nemůžeme
říct, zda letadlo letí, nebo stojí v hangáru, jelikož bez vnější vztažné
soustavy nemá tato otázka smysl. Proto výrok, že se něco pohybuje, vždy
vyžaduje vztažnou soustavu.
Dílo
Galileo Galilei naznačuje první postulát, který převzal Einstein:
Zákony
fyziky jsou stejné ve všech vztažných soustavách pohybujíc
ích se konstantní rychlostí jedna vzhledem k druhé.
Pokud
se formulace fyzikálních zákonů dvou pozorovatelů v různých vztažných
soustavách liší, nacházejí se tito pozorovatelé v soustavách, z nichž alespoň
jedna není inerciální.
Druhý
postulát zformulovaný Einsteinem vycházející z výsledků mnoha důležitých měření
říká:
Rychlost
světla ve vakuu je konstantní pro všechny pozorovatele,nezávisle
na rychlosti zdroje světla.
Rychlost
světla ve volném prostoru je zhruba c = 3• 108 ms-1.
Předpokládejme
nyní, že první pozorovatel v letadle, pohybujícím se konstantní rychlostí,
naměří jeho délku L0, hmotnost m0 a určitý časový interval
(řekněme hodinu na svých hodinkách) jako čas t0. Einstein ukazuje,
že druhý pozorovatel na Zemi naměří tyto veličiny jako:
Tedy
pro pozorovatele na Zemi se letadlo jeví kratší a hmotnější, než se jeví pozorovateli
v letadle, a hodinky prvního pozorovatele v letadle tikají pro druhého
pozorovatele na Zemi pomaleji.
Protože
je rychlost světla ve srovnání s běžnými rychlostmi c tak vysoká, jsou tyto
rozdíly malé a je těžké je vůbec detekovat. Nicméně, s rostoucí rychlostí v blížící
se rychlosti světla c, jak je tomu například v mikroskopickém světě tak malých
částic jako jsou elektrony a protony nebo při vysokých nárocích na přesnost, se
tyto vztahy plně uplatní.
Tato
Einsteinova teorie z roku 1905, která vedla k výše uvedeným závěrům, se nazývá
speciální teorií relativity, neboť je omezena pouze na inerciální vztažné
soustavy bez gravitace. Pozdější teorie obecné relativity, ve které se již pracuje
i s gravitací, zahrnuje i popis fyzikálních dějů v neinerciálních soustavách.
----------------------------------------------------------------------------------------
Animace
V
příběhu vystupují tyto postavy:
Profesor (značen ve scénáři písmenem P),
Ufon (U),
Vypravěč (V)
Televizní moderátorka (TV).
5.1.1.
část Seznámení
Kapitola
„Seznámení“ si klade jediný cíl. Uvést diváka do děje, seznámit jej s
postavami
a prostředím, kde se příběh odehrává. Profesor sedí doma u
televize
a sleduje zpravodajství, Ufon, který prováděl průzkum naší planety
pro
mezigalaktickou misi, se hlásí Profesorovi z rakety.
TV: Přesně o půlnoci, kdy byl odpálen 1. silvestrovský ohňostroj na oslavu nového roku, byl záhadným způsobem ukraden nejnovější model rakety L0, jejíž konstrukce trvala 10 let a jejíž start se dalších deset let odkládal kvůli řadě nejasností ohledně chování těles při velkých rychlostech. Neslýchaná drzost!
P: Spíš výborná příležitost konečně ji odstartovat!
V: Profesor je člověk středního vzrůstu, průměrného
fyzikálního vzdělání a s touhou pochopit, jak funguje svět.
Tajně doufá, že jednou vymění bílý plášť za skafandr. Věří v
Ufony. Při prvním setkání s nimi mu vypadalo hodně vlasů
a od té doby i zvláštně chodí. Jako jediný z pozemšťanů však
s mimozemšťany komunikuje.
TV: …využít silvestrovského ruchu pro odpálení rakety lze
považovat za geniální nápad. Ovšem 3-systémový
zabezpečovací systém neindikoval v blízkosti odpalovací
rampy žádného člověka! Závěrem tedy je, že trestný čin
nemohl být spáchán nikým z pozemšťanů.
P: ..chmm.. vím... šel jsem mu zamávat. A předali jsme si
komunikátor. Vidíte, jak je to relativní. Z pohledu médií
šlo o neslýchanou krádež, mně to přišlo jako dobrá
příležitost zjistit jak probíhají děje při vysokých rychlostech
…a z pohledu ufona šlo o pokus navázat komunikaci s
pozemšťany. Vždyť jsme je dosud ignorovali!
U: Musím splnit mezigalaktickou misi a donést zprávy o
vyspělosti vaší civilizace.
V: Ufon je mírumilovný mimozemšťan humanoidní rasy.
Stupeň civilizace jeho planety je na tak vysoké úrovni, že se
dokáže pohybovat rychlostmi blížícími se rychlosti světla a
poznatky speciální teorie relativity uplatňuje v běžné praxi.
Jeho posláním je navázat kontakt s jinými civilizacemi a
případně je posunout ve vývoji dál.
U: Vím už vše o vašich stravovacích návycích, způsobu
komunikace a zábavy, chybí mi už jen informace o tom,
jakou maximalní rychlostí jste schopni se pomocí vašich
strojů pohybovat! Nashledanou!
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Komentář
k jednotlivým bodům:
..předali
jsme si Komunikátor
Ufon
s Profesorem se spolu dorozumívají pomocí hypotetického komunikátoru, který
umožňuje získávat odpovědi od druhého, bez jakéhokoli zpoždění, nezávisle na
vzdálenosti obou postav od sebe. Příběh je vystavěn na dialozích, proto v
těchto kapitolách tento fakt nerozvádím. K otázce komunikace v reálném
čase se vracím v části práce “Paradox dvojčat”...jak
je to relativní Pojem relativní se zde vyskytuje v kontextu běžného života.
Divák tak na příkladu ze života pochopí jeho obecný význam. Věc se jeví jinak z různých
pohledů. Proto i krádež rakety může znamenat pro různé osoby různou věc. Ano,
krádež rakety je katastrofou pro kosmické centrum, které mnoho let připravuje
její start. Z hlediska Ufona však znamená krádež rakety pokus o navázání
kontaktu s pozemšťany. A netrpělivý Profesor na čin nahlíží také po svém.
5.1.2.
Co je to skutečnost
Tato
kapitola se snaží na příkladu relativity délek přiblížit zrádný pojem
skutečnost. Vlastní délka neboli klidová délka, značená L0, je délka
objektu měřená v jeho klidové soustavě.
P: Leť, ale nezapomeň, cos mi slíbil. Budeš mi hlásit všechno
co zažiješ! Tak rychle jako ty nikdo z nás ještě neletěl!
U: Ovšem. Zapiš si.
U: Délka rakety je L0=
objektu měřená ve vztažné soustavě s ním spojené
P: Haló, jsi na příjmu? Jakou rychlostí letíš? Dějí se divné
věci!
U: Letím rychlostí šest desetin rychlosti světla!
P: Šmankote…Zkracuješ se! Není ti tam v kabině nějak
těsno?
U: Vše mám pod kontrolou. S kabinou se nic zvláštního
neděje. Mám pořád dost místa na všechny nohy. Prolétám
kolem Země…a ta se mi zdá být ve směru pohybu jakási
placatá chachá!
P: Cože? Placatá.? To si mysleli ve středověku. Že bychom
se další stovky let mýlili? To není možný! Ne, počkej
Ufone, je skutečně naše Země placatá? Tvá raketa
zkrácená skutečně je!
U: Člověče, takovéto výrazy skutečně, skutečně….Je to
skutečně tak? Skutečně nemají smysl! Co je to skutečnost?
To co vidíš. Potom se z tvého pohledu moje raketa
skutečně smrskla….ale pro mě se nic nezměnilo.
U: Já vidím vaši Zemi skutečně placatou a ty tvrdíš, že je
kulatá. Ale nikdo z nás nemá větší pravdu.
U: Jestliže se vůči sobě pohybujeme, pozorujeme stejný
efekt- zkrácení délek ve směru pohybu. Je to takspravedlivé.
Měření
délky v každé vztažné soustavě, která koná relativní pohyb rovnoběžný s touto
délkou, dává výsledek, který je vždy menší než vlastní délka.
skutečnost=
„obvykle totéž co realita, označení toho, co jest oproti pouhému zdání [15].“
Vztažná soustava je dána vztažným tělesem, na
kterém se zvolí vztažný bod jako počátek soustavy souřadnic pevně spojené se
vztažným tělesem při dohodnutém způsobu měření času [7]. V našem případě je
tedy vztažnou soustavou Země, na které raketa před odletem stojí. Klidovou
délku rakety tedy měříme od povrchu Země.
Letím
rychlostí 0.6 c…
V
našem případě je vhodné udávat rychlosti těles v násobcích rychlosti světla. Je
na místě pochybovat o tom, že Ufon je s ukradeným modelem rakety sestrojeným
pozemšťany schopen se pohybovat tak velkou rychlostí. Ano, naše rakety jsou
schopny se pohybovat rychlostmi od 3000 do 30 000 m/s,tedy maximálně
Je
skutečně naše Země placatá?
Realita
je založená na pozorováních a měřeních; jestliže výsledky vždy vzájemně
souhlasí a nelze najít žádnou chybu, pak to, co bylo pozorováno a měřeno, je
reálné. V tomto smyslu se objekt opravdu zkracuje. Přesněji bychom však mohli
říci, že zkrácení objektu je opravdu změřeno – pohyb ovlivňuje měření a tím i
realitu.
..nikdo
z nás nemá větší pravdu.
Princip
relativity nám říká: „Fyzikální zákony jsou stejné pro pozorovatele ve všech
inerciálních vztažných soustavách.“ Žádná soustava není preferována.Nemá
smysl se tedy hádat, jaký tvar má Země, jsou-li účastníci hádky každý v jiné
soustavě.
5.1.3.
Synchronizace hodin
Tato
kapitola se věnuje záměrně jen problematice synchronizace hodin
P: A mohl bych nějakým způsobem na zemi změřit, jak
se tvá délka rakety v závislosti na rostoucí rychlosti
zkracuje? Mám dojít pro pásmo?
U: Ne, takhle bys začátek a konec rakety nikdy nezměřil
současně. Budeš potřebovat řadu synchronizovaných
hodin s čidly.
P: Bezva, máme jich spoustu na půdě. Ale jak je mám
zesynchronizovat?
U: Ukážu ti, jak jsme prováděli synchronizaci času v prostoru.
Hodinami jsme vydláždili jednu část vesmíru, abychom se
tam mohli pohybovat libovolně velkými rychlostmi a
současně se orientovali v místním čase.
U: Synchronizaci hodin provádíme z jednoho místa. Na
hodinách v tomto místě nastavíš čas 0 sekund a rozsvítíš
světlo.
U: Světlo se šíří od zdroje všemi směry a když toto světlo
zaregistrují jiné hodiny v prostoru, začnou jít. Takhle se
postupně světlo dostane až k nejzazším hodinám.
Výsledkem je prostor posetý hodinami, které jdou různě.
Z každého místa, kde jsou umístěny hodiny, tě pak
pomocník požádá: „nastav mi zrcátko“, a vyšle světelný
paprsek, který se k němu zpět odrazí. Zjistí čas od
vypuštění paprsku do jeho návratu, vydělí dvěma a o
tolik posune své hodiny dopředu. Stejným způsobem zjistí
i pomocníci na ostatních místech čas, o který musí své
hodiny posunout dopředu. Výsledkem je prostor
vydlážděný hodinami, které ukazují stejný čas, tedy jsou
synchronizované.
-------------------------------
.
Z
vlastní zkušenosti víme, jak je důležité pochopit důvod, proč je synchronizaci hodin
potřeba dělat a jak ji lze provést.
A
mohl bych nějakým způsobem na zemi změřit, jak se tvá délka rakety v závislosti
na rostoucí rychlosti zkracuje?
Stojí-li
raketa na startovací rampě, která je vůči vám v klidu, stačí pro změření
její
délky zaznamenat polohy jejich konců na nehybném měřítku a oba údaje
odečíst.
Pokud se ale raketa pohybuje, musíme zaznamenat polohy jejích
koncových
bodů současně (v naší vztažné soustavě). Jinak by se naše měření
nedalo
nazvat měřením délky. K tomu právě využijeme řadu synchronizovaných hodin.
Synchronizace
hodin
Metoda
komentovaná Ufonem v animaci nabízí řešení, jak zesynchronizovat hodiny jen
pomocí zrcadel, bez nutnosti měření vzdáleností míst, kde jsou
hodiny
rozestavěny. Metoda je založena na postulátu rychlosti světla: „Rychlost světla
ve vakuu má stejnou velikost C ve všech směrech a ve všech
inerciálních
vztažných soustavách, nezávislou na rychlosti zdroje“.
Dnes je tato metoda prakticky využívána k měření vzdáleností ve sluneční
soustavě
(připomeňme že úlohu světla může hrát elektromagnetického
záření libovolných frekvencí, v praxi například radiový signál) [14].
„Nastav
mi zrcátko“
Pokřikování
hlubinami vesmíru takhle samozřejmě nefunguje. Zvuk je mechanické vlnění a ke
svému šíření potřebuje látkové prostředí. Pokřikování je zde použito z důvodu
srozumitelnosti celé akce. Je tak jasné, ze kterého místa se paprsek vypouští.
Tato metoda by mohla fungovat i tak, že by v místě uprostřed, kde Ufon sedí na
hodinách, byla soustava rovinných zrcadel odrážející paprsky ke všem ostatním
hodinám v prostoru.
Zjistí
čas od vypuštění paprsku do jeho návratu, vydělí dvěma…
Čas
2t, který pomocník naměří, odpovídá vzdálenosti 2S, kterou paprsek rychlostí C
urazí k Ufonovu zrcadlu a zpět k němu. Pomocník tento naměřený čas 2t vydělí
dvěma, aby zjistil, jakou dobu trvá paprsku cesta jen od zrcadla k němu - tedy čas, o který musí své hodiny posunout dopředu. A
protože zná rychlost světla C, může jednoduše vypočítat i svoji vzdálenost S od
zrcadla: S =C ⋅t .
5.1.4.
Měření kontrakce délky
Tato
kapitola podává návod, jak by bylo možné změřit kontrakci délky.
U: Abys mohl na zemi měřit kontrakci délky rakety,
musíš vytvořit hustou řadu synchronizovaných
hodin kolem nichž raketa prolétává. Každé hodiny
mají dva displeje. Čas na horním displeji se zastaví v
okamžiku průletu začátku rakety. Čas na spodním
displeji se zastaví při míjení konce rakety. Experiment
vyhodnotíme takto: Najdi dvojici hodin, které se
vyznačují tím, že první hodiny na dolním displeji
(určující čas průchodu konce rakety) ukazují stejný čas
jako druhé hodiny na horním displeji (které se
zastavili při průchodu začátku rakety). Vzdálenost
těchto dvou hodin určuje kontrahovanou délku
rakety.
Čím hustěji tedy hodiny rozmístím, tím přesněji
budu měřit. Tato metoda umožňuje měřit
relativistické zkrácení rakety, neříká ovšem nic o
tom, jak dlouhou bych raketu viděl z jednoho místa
ze Země.
P:
U: Abychom se nezdržovali, budou výsledky
následujícího měření rakety ukazovány hned. My však
ale víme, že je lze získat až zpětně po pokusu. Tak
jdeme měřit!
P: Čím se raketa pohybuje rychleji, tím více se ve
směru pohybu zkracuje. Zkuste pravou šipkou na
klávesnici zvýšit rychlost. Levou šipkou můžete
raketu zpomalit a mezerníkem si dát „pauzu“ a
prostudovat čísla na displejích. 1. displej zobrazuje
aktuální rychlost rakety vzhledem k rychlosti světla.
Na druhém vidíte podíl aktuální délky rakety ku
klidové délce, kterou jsme změřili před startem.
A co by se stalo, kdybys dosáhl rychlosti světla?
------------------------------------------------
Musíš
vytvořit hustou řadu synchronizovaných hodin…
Aby
bylo možné určit délku pohybující se rakety na Zemi, je třeba zaznamenat oba
jeho konce současně (v naší vztažné soustavě spojené se Zemí). Využíváme k tomu
řadu synchronizovaných hodin (např. dle návodu v minulé kapitole) s čidly.
Čidla pracují tak, že zastavují čas na displejích hodin, když nad sebou
zaregistrují začátek či konec rakety.
Relativistické
zkrácení rakety
Animace
nezahrnuje všechny vlivy vzniklé v důsledku konečné rychlosti světla. Zkrácení,
o kterém se v práci hovoří, je dáno pouze relativistickými
jevy:
Jev
kontrakce délek nevypovídá nic o tom, jak by pozorovatel viděl pohybující se
těleso z jednoho místa ve své vztažné soustavě. Pozorovatel obecně vzato nevidí
tyč této délky L, protože pozoruje její přední a zadní konec v různých časech.
Skutečnou (kontrahovanou) délku pohybující se tyče v naší vztažné soustavě
můžeme pozorovat pouze v okamžiku, kdy vidíme oba její konce ve stejné
vzdálenosti, tj. když nás právě míjí její střed. Pro dostatečně vzdálenou tyč
je vliv konečné rychlosti světla na její pozorovanou délku vždy významnější než
relativistická kontrakce. Pro více informací ohledně pozorovaného tvaru
rychle se pohybujících těles se vás dovoluji odkázat na Elektronickou učebnici
„základy teorie relativity“, kde je problematika dopodrobna objasněna[14].
Čím se
raketa pohybuje rychleji, tím více se ve směru pohybu zkracuje. Kontrakce se
samozřejmě začne projevovat výrazněji až při rychlostech
blížících
se rychlosti světla. Zájemce může zjistit hodnoty zkrácení při libovolných
rychlostech pomocí interaktivní animace. (Lze samostatně spustit soubor 28.swf.)
Oranžově
rozsvícené hodiny vyznačují aktuální délku rakety změřenou na Zemi.
5.1.5.
Skládání rychlostí
U: To prakticky není možné. Nic hmotného nelze
urychlit na rychlost světla. Moje délka by se zkrátila
na nulu, čas by mi přestal plynout a vůbec bych
nebyl vidět.
U: Dám ti úkol. Díváš se ze země. Letím kolem tebe
raketou rychlostí 0.5c a z mé rakety vystartuje
druhá raketa letící také rychlostí 0.5c vzhledem
k první. Jakou rychlostí poletí 2. raketa vůči
tobě?
P:
Selský galileovský rozum říká že 0.5c + 0.5c je
C. Ale c přece nemůžeme dosáhnout. Takže je to
zřejmě jinak. Ano, galileovsky můžeš sčítat rychlosti selat,
ale ne rychlosti srovnatelné s rychlostmi světla!
Takto velké rychlosti nelze vektorově skládat.
U:
U: Jestliže vyletí raketa rychlostí 0.5c a z ní druhá
raketa toutéž rychlostí 0.5c vůči první, bude se
druhá raketa vzhledem k tobě pohybovat rychlostí
0.8c. Vystartuje-li z druhé rakety stejnou rychlostí
0.8c třetí raketa, bude se ta třetí vzhledem k tobě
pohybovat rychlostí 0.98c. Když budeme stejným
způsobem vypouštět další rakety, čtvrtá se bude
pohybovat rychlostí 0.99c a další a další vystřelené
rakety se stále budou blížit rychlosti světla, ale
nikdy jí nedosáhnou. Víš co Profesore, vezmu tě
sebou do vesmíru, ať na sebe pořád nemusíme
hulákat.
………………..
Tato
kapitola pojednává o jedné z nejdůležitějších věcí, kterými se teorie relativity
liší od klasické fyziky: Skládání rychlostí.
Jakou
rychlostí poletí 2. raketa vůči tobě?
Klasické
skládání rychlostí pro velké rychlosti musí fungovat jinak. Při klasickém
skládání rychlostí by totiž rychlost světla nemohla zůstat stejná ve všech
inerciálních soustavách.
Selský
galileovský rozum říká…Vysvětlíme si nyní, jak jsme
spočítali velikosti rychlostí raket. Proveďme výpočet nejdříve klasicky:
Počítáme-li
skládání rychlostí klasicky, považujeme raketu pilotovanou Ufonem za vztažnou
soustavu K', Profesora za vztažnou soustavu K.
Soustava
K' se pohybuje vůči soustavě
K
rychlostí V=(V,0,0), raketa vypuštěná z ufonovy rakety
se pohybuje v témže směru rychlostí o velikosti
v' x , průměty této rychlosti do směrů os y' a z' jsou nulové.
Profesor
by tedy naměřil, že raketa dosáhla rychlosti světla! Pokud nyní bereme tuto
raketu pohybující se vůči profesorovi rychlostí c za vztažnou soustavu K' a
má-li raketa z ní vyletující rychlost stejnou, tj. c, získá podle předchozího
vztahu vůči profesorovi rychlost 2c ! Každá další raketa vyletující z předchozí
rakety rychlost světla mnohonásobně překračuje. Raketa ale rychlost světla
překročit nemůže a klasické (galileovské) skládání
rychlostí
zde
tedy selhává [14].
Galileovsky
můžeš sčítat rychlosti selat, ale ne rychlosti srovnatelné s rychlostmi světla!
Počítejme
tedy rychlosti raket podle vztahu pro relativistické skládání rychlostí.
Raketu
pilotovanou ufonem považujme nadále za vztažnou soustavu K' a Profesora za
vztažnou soustavu K. Po dosazení číselných hodnot ze zadání
dostáváme
pro složky rychlosti naměřené profesorem.
vx
Pokud
nyní bereme tuto raketu pohybující se vůči profesorovi rychlostí 0.8c za
vztažnou soustavu K0, a má-li raketa z ní vyletující rychlost stejnou, tj.
0.8c,získá podle předchozího vztahu vůči Profesorovi rychlost:
Další
rakety vypuštěné stejným způsobem by pak získaly rychlosti 0.9996c, 0.99999c, ..., čili by se jejich rychlost neustále blížila
rychlosti světla, ale nikdy by jí nemohla dosáhnout ani překročit.
Relativistický
zákon skládání rychlostí tedy splývá s klasickým v situaci, kdy je rychlost
pohybu tělesa v 0 = (v 0 x , v 0 y , v 0 z ) malá ve
srovnání s velikostí rychlosti světla c, a pokud táž podmínka platí i pro
rychlost V = (V, 0, 0)
[14].
5.1.6.
Současnost událostí
P: V televizi říkali, že Raketa odstartovala přesně o
půlnoci, současně se zábleskem prvního
ohňostroje. Já jsem však nejdřív zahlédl plameny
rakety a až potom záblesk z ohňostroje. To mi
nehraje…
U: Uvědom si, odkud si obě události pozoroval. A
jakou rychlostí se šíří světlo?
P: Ve vakuu se světlo pohybuje rychlostí 300 tisíc
kilometrů za sekundu, tedy 3* 108 m/s
U: Hmmm… to je rychlost obrovská, ale ne
nekonečná. A protože raketa byla k tobě blíž než
ohňostroj, i světlo z ní k tobě přišlo dřív než ze
vzdáleného města. A proto jsi obě události
nezaznamenal jako současné, ač současné byly.
Povím ti jeden zajímavý případ, kvůli kterému mě
vyhodili od dráhy a musel jsem přejít k
misionářství.
U: Tehdy jsem dostal za úkol vymyslet systém
současného otevírání dveří vlaku za jízdy pro
případ evakuace. V nebezpečí se uprostřed vlaku na
střeše rozsvítí světlo, které zachytí detektory u dveří
na koncích vlaku a zajistí otevření dveří.
P: Hm… to´s vymyslel chytře… ale proč tě teda
vyhodili…?
U: Můj nápad se potom testoval. Vylezl jsem na
střechu ke světlu, abych mohl experiment
sledovat. Dopravní inspektor stál na nástupišti a
kontroloval, zdali se dveře otevřou současně.
U: Projížděli jsme stanicí rychlostí blížící se rychlosti
světla. S úspěchem jsem zaznamenal, že se dveře
otevřely současně. Inspektor však přísahal, že viděl,
jak se zadní dveře otevřely dřív než přední.
P: No, inspektor totiž viděl, jak konec vlaku šel paprsku
naproti, zatímco přední část paprsek musel dohánět.
To je jasný.
U: Pohádali jsme se. A jelikož byl inspektor ve funkci,
která mu zajišťuje, že má vždycky pravdu, vyhodili
mě.
P: A vymyslel někdo lepší systém než ty?
U: Ne současnost událostí je totiž relativní. Systém
zůstal stejný, jen se vydal předpis, že před evakuací
je třeba vlak zastavit. Pak byl i inspektor stojící na
nástupišti uprostřed zastaveného vlaku spokojen.
P: No, u nás na Zemi stejný problém s neshodou
současnosti vyřešili chytřeji. U každých dveří je
vyvěšena cedulka: Zákaz otvírání dveří během
jízdy…ale vždy jsem si myslel, že je to spíš proto,
aby nikdo z vlaku za jízdy nevypadl.
U: Ach jo, snad nebyl Einstein jediný, kdo s námi
dokázal komunikovat na úrovni! Vaše vlaky jezdí
natolik pomalu, že by se takováto neshoda
současnosti sotva projevila. Profesore, nemáte
náhodou doma kozu s konstantní bobkovací
frekvencí?
---------------------
V
této kapitole se nejdřív přesvědčíme o tom, že rychlost světla není nekonečná,
a poté s tímto poznatkem budeme pracovat dále. Princip konstantní rychlosti
světla totiž zcela jasně vede k relativitě současnosti Hmmm…
to je rychlost obrovská
Uvedená
animace demonstruje, že rychlost světla je velká, ale konečná. Profesor i
televizní hlasatelka se nacházejí ve stejné inerciální soustavě (neboť se vůči
sobě nepohybují) a pozorují události, které jsou v této soustavě současné.
Současně je však vidí jen hlasatelka, která stojí uprostřed mezi místy, v nichž
se události odehrávají, zatímco profesor stojí blíže místu startu rakety, a
proto k němu dorazí informace o startu rakety dříve než informace o výbuchu
ohňostroje[14].
Vylezl
jsem na střechu ke světlu, abych mohl experiment sledovat.
Ufon
má naštěstí oči dostatečně daleko od sebe a je schopen pozorovat oba konce
vlaku zároveň. Sedí uprostřed na střeše vagónu a vidí současně otevření
dveří
na obou jeho koncích. Právem z toho vyvozuje, že dveře se otevřely současně.
Současnost
událostí je totiž relativní
Pokud
se dva pozorovatelé vzájemně pohybují, pak se nebudou obecně shodovat v tom,
které události jsou současné. Když je jeden pozorovatel označí za současné, pro
druhého obecně současné nebudou, a opačně.
Současnost
není absolutním pojmem, ale pojmem relativním, který závisí na vztažné
soustavě, v níž pozorovatel stojí [8].
Vaše
vlaky jezdí natolik pomalu, že by se takováto neshoda současnosti sotva
projevila. Je-li relativní rychlost pozorovatele mnohem menší než rychlost
světla, pak měřené rozdíly současnosti pro různé pozorovatele jsou příliš malé,
než abychom je zaznamenali. Tak je tomu ve všech zkušenostech z našeho běžného
života, a proto působí relativita současnosti tak neobvykle [14].
5.1.7.
Dilatace času
U: Profesore, nemáte náhodou doma kozu
s konstantní bobkovací frekvencí?
P: Ale jistě, stačí ji nakrmit. Je bobkovací frekvence
1bobek za sekundu vhodná?
U: To se přesně hodí!
P: Moje koza je odolná, nebojácná, s úžasně
harmonickým trávením. Produkuje 1 bobek za
sekundu za jakékoli situace.
U: Tvá koza se bude pohybovat různými dopravními
prostředky a bude bobkovat. Ty, profesore, budeš mít
za úkol vždy změřit vzdálenosti bobků. Sežeň vozík,
fáro a letadlo. Já pak svezu kozu raketou a seženu
snad ještě něco rychlejšího. Vystupovat!
P: Pro představu o rychlostech zkusme každým ze
jmenovaných prostředků urazit vzdálenost
Ufufuf..tak s vozíkem rychlostí 1m/s by mi to trvalo
1000 sekund, tedy necelých 17minut. Tak na to čekat
nebudem.
P: Rychlým autem
pohybujícím
m/s, vzdálenost 1km urazíme za 20 sekund…to je
taky doba…
P: Letadlem letícím rychlostí 300m/s to máme za 3,33
sekundy,
P: A pozor, raketa se jen kolem mihne. 1/30
sekundy…to sotva okem zahlédneme.
P: A rychlejší kosmická plavidla a talíře už vůbec
nepostřehnem. (Hm…, s kozou na vozíku jsme zatím
nedošli ještě ani do desetiny vzdálenosti.)
U: Nakrm kozu a můžeme začít!
P: Abychom mohli v klidu sledovat každý experiment,
vyhradíme si na něj 10 sekund. Koza na vozíčku pak
ujede 10m a v kosmické hyperlodi urazíme 2 400 000
km. Těmto vzdálenostem bude vždy odpovídat
vzdálenost mezi startem a cílem. Pak se bude koza ve
všech dopravních prostředcích na našem monitoru
pohybovat zdánlivě stejnou rychlostí, ale my víme, že
rychlosti jsou diametrálně odlišné.
Zvuk: Start! Rychlost kozy = 1m/s, vzdálenost start cíl je
10m.. Bob…bob…píp…píp…Cíl!
P: Vezmu si měřící tyč, jejíž délka 1m je číselně rovna
rychlosti kozy 1m/s.
P: 1.2.3….10 úseků oddělených bobky, nádhera, jak jsem
předpokládal. Vzdálenost mezi bobky je skutečně
přesně 1m. Kozo, nastup si do auta.
P: Auto s kozou se pohybuje rychlostí 50m/s a za 10s
urazí vzdálenost 500m. Cíl! Beru si měřící tyč délky
50m a 50m mezi bobky přesně sedí.
P: Kozo, poletíš letadlem! Start! Rychlost letadla s
kozou je 300m/s, vzdálenost 3km, bobkovací
frekvence 1bobek/s je pořád stejná. Vzal jsem si
tyč dlouhou 300m. Koukám, že vzdálenosti bobků
přesně souhlasí s délkou tyče. Kozo, poletíš
raketou!
P: Kolik letíte?
U: Rychlostí 30 000 m/s
P:
Tak se kozo neboj a pěkně trav! Trasa mezi bobky
je dlouhá jak z Brna do
Litoměřic, tedy
Vzal jsem si 30 kilometrovou tyč a porovnávám,
porovnávám…a vzdálenosti mezi bobky opět
přesně souhlasí. Kozo, promiň, ale musíš nastoupit
do ještě rychlejší vesmírné lodi.
P: Ta s tebou poletí
deset sekund uletíš vzdálenost 400 tisíc km!
Tyč dlouhá
hmm..hmmm, nějak to úplně neštimuje,
no..hmmm…že mi trošinečku tyč seschla ….nebo
že by se bobek lehce zakutálel… ale ne, další je
taky stejně posunutý….to je systematicky špatně a
navíc divné!
U: Kozo, tak malá odchylka od normálu….hmmm…
Musíme letět ještě rychleji!
P:
Ufon sehnal hyperloď, vesmírné plavidlo co
dokáže letět 0.8 rychlosti světla, tedy 240 000 km/s.
Vzdálenost mezi startem a cílem
je
Měřící tyč, kterou si vezmu, je tedy dlouhá 240 000
kilometrů. Koukám, na trase mezi startem a cílem
je…1,2,3,4,5,…jenom 6 úseků! Tak tohle nemůže
být seschnutím tyče! Vzdálenost bobků je téměř
dvakrát větší než moje tyč, dobrých 400 000
kilometrů… jak je to možné? Hmm, pokus trval
deset sekund…
Profesore, z mého pohledu jsem se od startu
do cíle dostal za 6 sekund, protože vzdálenost od
startu do cíle jsem naměřil ne
jen 1 440 000! Což je v souladu s tím, že koza
utrousila pouze 6 bobků. (Startovací bobek se
nepočítá, ten už tam ležel, když se stopky seply).
U:
P: Aha, počty bobků v obou soustavách souhlasí.
Můžeme se tedy aspoň něčeho chytit.
U:
Vysvětlení záhady tkví v tom, že koze vzhledem
k tobě čas ubíhal pomaleji. Jedné její kozí sekundě
odpovídalo 1,66 sekundy tvé pozemské. My jsme
však z lodi viděli, že se zkrátila vzdálenost od startu
do cíle i tvoje měrná tyč.
P: Takže já si záhadu vysvětluji dilatací jejího času
a ty s Kozou si tutéž záhadu vysvětlujete kontrakcí
vzdáleností a délek. Oba jsme viděli, že koza
vytrousila po startu 6 bobků. Tedy základní logika
věci je dodržena. Kozo, nechám tě tam asi lítat, sic
míň hnojíš, ale zato déle vydržíš!
………………..
Při
shlédnutí první z následujících animací by se čtenář měl zamyslet nad problematikou
měření časů a vzdáleností a nad obtížemi, které musí oba pozorovatelé
překonávat.
Kozu
s konstantní bobkovací frekvencí?
Koza
je vhodné zvíře, protože produkuje tvarově ohraničené a přesné bobky.Pro náš případ není důležité, jakým způsobem bobky
padají na zem.
Rozhodující je jejich počet a vzdálenosti mezi nimi. Koza s konstantní bobkovací frekvencí vystupuje v této animaci v roli ideálních hodin, odměřujících přesně čas. Měření je prováděno odečítáním vzdálenosti značek (bobků), které byly vytvořeny s konstantním časovým odstupem 1s (vlastního času kozy).
Experiment
Situace
je uspořádána tak, že profesor bude měřit vždy vzdálenosti mezi bobky, které
koza vytvoří během deseti sekund jejího pohybu, čili (při známé rychlosti
pohybu kozy a konstantní bobkovací frekvenci) bude
tak vlastně nepřímo měřit čas odpovídající dopadu bobků v jeho vztažné soustavě
[14].
Start!
Nyní
je už možné zahájit vlastní měření. Profesor se nachází v roli pozorovatele
ve vztažné soustavě K, pozorovatelem měřícím vlastní čas je pak koza ve vztažné
soustavě K´.
Vezmu
si měřící tyč, Profesorovo měřidlo má délku d'=V• τ, kde V je rychlost
dopravního prostředku s kozou a τ je 1 sekunda. Vzdálenost d' odpovídá
vzdálenosti značek v kozině vztažné soustavě K'.
K
vizuální stránce animace: Se zvětšující se vzdáleností startu od cíle by se samozřejmě
měly v odpovídajícím poměru zmenšovat bobky, profesor,cedule….
Tento fakt byl v animaci záměrně opomenut, protože by důležité značky (bobky)
přestaly být vidět.
Že
by se bobek lehce zakutálel?
Dá
se očekávat, že profesor bude při vyšších rychlostech pozorovat dilataci času,
která se projeví jako zvětšení vzdáleností mezi jednotlivými značkami oproti
délce jeho měřidla
(čas Δt měřený v soustavě
spojené se Zemí K je podle ∆t delší než vlastní čas τ, tedy
vzdálenost bobků daná vztahem d = V• Δt je větší
než délka tyče d').
Profesor
si tohoto jevu všímá až pro rychlost V= 40 000 000
m/s =0. 13c. Při této rychlosti odpovídá dilataci času o 0.009s změna délky o
9mm na 1m délky. Není divu, že profesor při měřítku délky 40 000 000m
považuje
změnu vzdálenosti o 360 000m za chybu měření.
Musíme
letět ještě rychleji!
Aby
byly relativistické efekty výraznější, letí ufon s kozou ještě rychleji, rychlostí
V=240 000 000m/s =0. 8c.
(Profesor
pozoruje dilataci času, jedna jeho sekunda odpovídá 1,66násobku
sekundy
kozí).
Profesore,
z mého pohledu jsem se od startu do cíle dostal za 6 sekund…
Ufon
tvrdí, že z jejich hlediska letěli po dobu šesti sekund, než přeletěli dráhu vytyčenou
profesorem na desetisekundový přelet. Tomu odpovídá i šest bobků vytroušených
kozou. Kde je tedy vysvětlení? [14].
Takže
já si záhadu vysvětluji dilatací jejího času…
Profesor
pozoruje dilataci času, jedna jeho sekunda odpovídá 1,66násobku
sekundy
kozí (koza se proti němu pohybuje rychlostí 0,8c), proto je i jeho měřítko 1,66
násobně kratší. Ufon s kozou pozorují kontrakci délek (profesor se vůči nim
také pohybuje rychlostí 0,8c, ale v opačném směru), takže koza trousí bobky po
1,66 násobně kratší dráze.
Tím
je situace objasněna k všeobecné spokojenosti [14].
5.1.8.
Rozloučení
U: Tak, ahooj, pro dnešek ses toho už dozvěděl
dost!
TV: Model rakety L0 stále nezvěstný. V průběhu
dnešního dne byly hlášeny pády zvláštních
nebeských těles. Tvarem a konzistencí
připomínají kozí trus… což nás staví před
otázku: Jsou mimozemšťané vegetariáni? Nebo
jsou snad vegetariáni právě oni a žijí mezi námi?
Všechny nalezené kusy nebeských těles prosím
odevzdávejte do sbírek Technického muzea v
Brně (5. patro, pí. Přikrylová). Děkujeme za
pozornost. Přejeme příjemný den.
-----------------------------------------------
Tato
kapitola uzavírá příběh. Divák si na konci „odpočine od fyziky“. Dostáváme se
zpět do Profesorova domu a s pocitem že, „víme víc“ než paní moderátorka v
televizi, se klidně můžeme vrátit zpět do „normálního“ života.
5.2.
PARADOX DVOJČAT
Tato
část práce ilustruje známý paradox dvojčat. Je volným pokračováním relativistických
dobrodružství Profesora a Ufona. Vypráví o dvojčatech, která vyrůstala v různém
prostředí (jedno s Profesorem na Zemi, druhé s Ufonem ve vesmírné lodi
pohybující se rychlostí 0.8c). Pozorujeme rozdíly v deníkových záznamech o
vývinu dětí a staneme se svědky jejich setkání.
Animace
též poukazuje na problémy při předávání aktuálních informací mezi Ufonem a
Profesorem a navrhuje jejich řešení. Velkými písmeny jsou v komentáři označeny
postavy, které v příběhu vystupují: V (Vypravěč),
P
(Profesor), U (Ufon), dvojčata M (Modrý) a Z (Zelený).
Paradox
dvojčat
Život
má pravidelný rytmus, takže se naše biologické hodiny musí chovat jako
jakékoliv jiné hodiny, které se pohybují vzhledem k pozorovateli. Puls a tikot
těchto hodin funguje na stejném principu. Zpomalení pohybujících se hodin proto
znamená i zpomalení života kosmonauta v letící raketě vzhledem k životům jeho
pozorovatelů na Zemi.
Sledujme
tento příběh. Jedno z novorozených dvojčat - Zelený
odlétá s Ufonem na misi ke vzdálené planetě rychlostí 0.8c. Život Zeleného
ubíhá vzhledem k životu jeho bratra Modrého, který zůstává s Profesorem na Zemi
Na
první pohled je tento výsledek zvláštní. Podívejme se na stejnou situaci ještě
z pohledu Zeleného v raketě. Modrý na Zemi se z jejího pohledu pohyboval
stejnou rychlostí vůči ní, 0.8 c. Dle stejného
postupu by měl být Modrý na Zemi po jejím návratu mladší -
slavný paradox dvojčat.
Ale
tento dvojí pohled není ve skutečnosti tak lehce zaměnitelný. Modrého raketa
byla při otáčce zpět k Zem urychlena a při přistávání
se zase zpomalovala. Naproti tomu Modrý na Zemi zůstal v inerciální vztažné soustavě
po celou dobu jejího letu. Podle teorie relativity tedy není symetrie mezi
volbou Modrého nebo Zeleného vztažné soustavy. Odlišné stárnutí dvojčat je
potvrzeno i experimenty prováděnými s velmi přesnými a konstrukčně identickými
hodinami, které byly brány na vesmírné lety [14].
Rozhovor
V:
P:
Profesor a Ufon našli v lese dva odložené
novorozence. Dvojčata. Každý se ujal jednoho.
Rovnou je přeměřím.
Nepochybně to jsou dvojčata a oba chlapci.
P:
U:
Vezmu si na starost tohoto Modrého
a vychovám ho tady na Zemi.
Já si do vesmíru vezmu jeho zelené dvojče!
P:
A dobře se starej o Zeleného!
U:
Neměj starost, mám dost končetin pro řízení
lodi i pěstounskou péči zároveň!
U:
Poletím lodí rychlostí
planetu a pak se vrátím i se Zeleným zpět na
Zemi.
P:
Tak leť, ale nezapomeň mi hlásit jak Zelený
roste!
U:
No, to bych sice mohl, ale než by ta zpráva
k tobě doletěla, byli bychom už zase o hodně
starší! Musíme to udělat jinak.
U:
Vydláždíme moji cestu synchronizovanými
hodinami s pozemským časem tak, že každý
pozemský rok potkám jedny hodiny a do
schránky u nich vložím zprávu. Současně i ty,
Profesore, budeš každý rok zaznamenávat
zprávy. Navíc pověříš svoji turbosekretářku
létající turboraketou, aby moje zprávy těsně před
mým návratem vybrala a až přiletím vše
porovnáme.
V důsledku toho, že se Zelený pohybuje
obrovskou a konstantní rychlostí 0.8C, jeho čas
plyne vzhledem k Modrému, který žije na Zemi,
pomaleji.
V:
V: Zelený sám však nic podivného nepociťuje.
V:
Po dlouhé době máme zprávy od Ufona a
Profesora k dispozici. Vyberme z nich to
nejzajímavější:
U:
Zelený má 7 měsíců, jen řve, spí pije mléko,
které musím pracně filtrovat při průletu mléčnou
dráhou. Taky se Zeleného snažím naučit říkat
„Ufon“.
P: Modrému je 1 rok, hryže ohrádku, leze po
čtyřech a někdy se viklá i na dvou. Koupil jsem
mu botičky.
U:
Zelenému jsou právě 3 roky. Motá se mi do
řízení, neustále mačká červené čudly, zuří a
všechno ničí.Ušil jsem mu ze své přebytečné
kůže hračku, tak je teď chvilku hodný.
P: Modrý má 5 let, za nic na světě nechtěl chodit
do školky. Koupil jsem mu tříkolku a od té doby
do školky nechodí, ale jezdí. Používá kolem 2500
slov a učí se i nová, sprostá.
Zelený má 6 let. U vás by byl žákem 1. třídy.
Tak ho alespoň učím číst souhvězdí a počítat
vypadené zuby. V noci fňuká, protože se mu
prořezávají trvalé.
P: Modrý má 10 roků, chodí do 4.třídy a umí
všechny vyjmenovaná slova. Tříkolku vyměnil za
kolo a zjistil že v čepici se štítkem dozadu vypadá
rozhodně lépe.
U:
U: Zelenému je 9 let. Vyřezal jsem z kusu izolace
rakety figurky a hrajeme spolu šachy. Začíná už
dost přemýšlet o vesmíru, jen nechápe, proč já
jsem zelenej a on růžovej. Nevydržel jsem to a
prozradil mu, že má bratra. Přiletíme na Zem
oslavit jeho 12. narozeniny.
P: Modrým cloumá puberta. Má 15 let. Kolo už ho
nebaví, se mnou se vůbec nebaví a nechce se
nechat ani změřit a zvážit!
P: Vylez z toho motoru, přiletěl tvůj bratr!
Z: Dobrý den.
M: Auu. Ahoj.
Všichni: Živijó, živijó, živijó, živijó…
M: Opravil jsem káru, takže po oslavě můžeme jet
na dízu, zatrsat si s babama…chápeš..
Z: …a nepůjdem radši do ZOO?
U: Hmm, tak tohle setkání se moc nevydařilo,
musíme napravit co jsme provedli! Takže,
navrhuji Výměnu!
P: Dobrý nápad. Zelený, ty zůstaneš stárnout se
mnou na Zemi a Modrého pošleme s Ufonem
do vesmíru!
U:
Poletím lodí rychlostí
planetu a pak se vrátím i se Zeleným zpět na
Zemi.
Odlétá raketa.
Hodiny.
Přilétá raketa.
M+Z: Konečně jsme sjednotili své zájmy!
……………………………..
Vydláždíme
moji cestu synchronizovanými hodinami…
Jak
časově zajistit, aby se zprávy Profesora a Ufona mohly srovnat? Víme již,že
Profesor pozoruje dilataci Ufonova roku a tedy mu
nemůže říct „každý rok zaznamenej zprávu.“
Při
rychlosti 0.8c bude muset Ufon zprávy zaznamenávat 1.66 krát
častěji než Profesor. Aby měl Ufon při své cestě raketou přehled o tom, jak
plyne čase na Zemi, vydláždila se jeho cesta hodinami
synchronizovanými s pozemským časem tak, aby každý pozemský rok potkal jedny
hodiny a do schránky vedle nich vložil čerstvě natočený záznam.
Pověříš
svoji turbosekretářku…
Prakticky
by Profesor turbosekretářku ani zaměstnávat nemusel.
Ufon by si pouze při každém minutí hodin zaznamenal zprávu do deníčku a popsal příslušným
rokem odpovídajícím Profesorovu. Turbosekretářka,
která se pohybuje ještě vyšší rychlostí než Ufon v raketě, byla vymyšlena
proto, aby byl způsob časové synchronizace Ufonovových
zpráv s Profesorovými zřetelnější a aby měl Profesor záznamy k dispozici o
chvíli dříve, než Ufon přiletí.
Po
dlouhé době máme zprávy od Ufona a Profesora k dispozici.
Zprávy
zaznamenané v pozemském čase tak, jak Ufon míjel hodiny, ukazují stádium vývoje
Modrého dítěte na Zemi v levé polovině obrazovky a současně stádium vývoje
Zeleného v raketě. Čas na hodinách ukazuje roky uplynulé v každé ze soustav.
Ufon a
Profesor jsou nesmrtelní a nestárnou, protože jsou hlavními hrdiny.
Na
jejich svraštělé tváře by se v příštích dílech již nikdo nechtěl dívat. Věk Zeleného
0.6 let = 7.2 měsíců je v animaci zaokrouhlen na celých 7 měsíců.
Zde je
Profesorova tabulka, srovnávající plynutí času v raketě pohybující se
rychlostí
0.8c s jeho časem na Zemi.
Přiletíme
na Zem oslavit jeho 12. narozeniny.
Dvojčata
se znovu setkají. To znamená, že Zelené dvojče v raketě se muselo po nějakou
dobu pohybovat neinerciálně. Raketa byla v jistém okamžiku zabržděna
a urychlena v opačném směru. Doba nerovnoměrnosti pohybu může být ovšem volena
tak, že ji lze zanedbat oproti době, po niž se raketa pohybovala rovnoměrně.
Dilatační
vztah, uvedený výše je odvozený pouze pro časové intervaly v inerciálních
systémech. Na systém spojený s raketou, který po celou uvažovanou dobu
inerciální není, nelze aplikovat. Pro tuto chvíli se spokojíme s popisem
situace z hlediska Profesora, pozorovatele na Zemi [14].
Tohle
setkání se moc nevydařilo, Zájmy 12ti letého chlapce jsou zcela jiné než dvacetiletého. Aby
sourozence znovu zdvojčatovitěli (vyrovnali své věky)
uspořádal Profesor s Ufonem
symetrickou
situaci - výměnu. Tak jako si Zelený prožil svých 12
let v raketě pohybující se rychlostí 0.8c, tak si stejnou dobu v raketě
prožije i modrý.
Konečně
jsme sjednotili své zájmy! Příběh končí opětovným, ale tentokrát šťastným
setkáním dvojčat. Oba bratři mají 32 let a baví se stejným způsobem.
5.3.
SOUVISLOST PARADOXU DVOJČAT A DOPPLEROVA JEVU.
Existuje
i málo známý, ale podle našeho názoru velmi přesvědčivý výklad paradoxu hodin
založený na využití Dopplerova jevu. Vznik časového
rozdílu mezi pozemšťanem a kosmonautem můžeme sledovat přímo na obrazovce, kde je
ukázáno, jak probíhá děj v pozemšťanově soustavě, v níž údaj kosmonautových
hodin podléhá dilataci, jež se projevuje méně častým vysíláním vlnoploch. Nás
však bude především zajímat, co oba přímo vidí, pozorují-li svého kolegu.
Interaktivní aplet - Souvislost paradoxu dvojčat a Dopplerova jevu
Při
vhodně nastavené rychlosti si můžeme sledováním vlnoploch přímo napočítat, že
pozorování jsou symetrická - každému se zdá, že při
vzdalování kolega stárne pomaleji podle stejného vztahu, a to v důsledku
relativistického Dopplerova jevu, který zahrnuje
nejen dilataci času, ale i přímý vliv vzdalování. Je to právě dilatace času,
která jev symetrizuje. Obdobně je tomu při
přibližování, kdy však „obyčejná“ složka Dopplerova
jevu převáží nad dilatací a každý proto vidí kolegu
stárnout rychleji.
Odkud
se potom bere asymetrie výsledku srovnání údajů hodin po kosmonautově návratu,
jak nám ji sděluje počítadlo průchodů vlnoploch?
Není
těžké na to odpovědět. Pro kosmonauta dochází ke změně pozorované
frekvence
v polovině jeho cesty, když obrátí směr pohybu své rakety. Naproti tomu pro
pozemšťana je doba nižší frekvence signálů od kosmonauta delší než doba
pozorování vyšší frekvence signálů, a to tím více, čím více se blíží kosmonautova
rychlost rychlosti světla. Pohybuje-li se kosmonaut téměř světelnou rychlostí,
uvidí ho pozemšťan zapínat motory a obracet tak směr letu až ve chvíli, kdy už
je kosmonaut skoro doma
Předpokládejme,
že pozemšťan vyšle každý rok signál ve svém čase – hnědé vlnoplochy (na
monitoru modré) a kosmonaut taktéž ve svém čase fialové vlnoplochy (na monitoru
zelené). V důsledku dilatace času, která nezávisí na směru rychlosti rakety,
kosmonaut vysílá signály méně často a pozemšťan napočítá při setkání méně
přijatých signálů od kosmonauta než sám vyslal.
Poměr
počtu pozemšťanem vyslaných a pozemšťanem přijatých vlnoploch udává poměr
zestárnutí pozemšťana a kosmonauta. Nerelativistický Dopplerův
jev závisí na směru pohybu, a tedy způsobuje prodloužení časové periody mezi
signály přicházejícími k pozemšťanovi při kosmonautově cestě od něj a zkrácení
časové periody mezi signály těsně před návratem kosmonauta. Kolik vlnoploch
jeden pošle druhému, tolik i druhý do návratu přijme.
;
Pokud
počítáme Dopplerův jev relativisticky, musíme
uvažovat, že pozorovatel, vůči němuž se zdroj zvuku pozoruje, vnímá dilataci
periody vlnění, určenou vztahem
(pokud
se pohybuje pozorovatel vůči zdroji, dochází k dilataci pro zdroj).
Protože
frekvence je převrácenou hodnotou periody, musí se při prodlužování periody
frekvence zmenšovat, a to podle vztahu
kde V je rychlost pohybu zdroje (pozorovatele) a f 0 frekvence
vlnění v jeho
vlastní
vztažné soustavě. V souladu s touto úvahou musíme v rámci relativistické
mechaniky upravit vztahy pro klasický Dopplerův jev: