Snad nikdo dnes nepochybuje o tom, že řešení úloh stojí v samotném základu školské matematiky. Nestačí však jen vybrat vhodné úlohy, existuje celá škála přístupů, jak s úlohami ve výuce pracovat. Konkrétní využití úlohy se liší v roli, jakou při něm hraje žák, v kognitivní náročnosti úkolů, které žáci musí plnit, v míře, do níž situaci řídí učitel, apod. V tomto článku se podíváme na jedno konkrétní využití potenciálně podnětné úlohy ve výuce. Jedná se o úlohu, kdy je nutné nejdříve situaci zakreslit a poté stanovit strategii řešení; konkrétně v obrázku identifikovat pravoúhlý trojúhelník a aplikovat na něj Pythagorovu větu.
Teoretické uvedení: Využití potenciálně podnětné úlohy ve výuce
Žák získává matematické znalosti a dovednosti prostřednictvím řešení vhodně volených úloh, a proto je otázka výběru těchto úloh klíčová. Ovšem praxe i výzkum ukazují, že úlohy nelze zkoumat izolovaně – je účelné odlišit potenciál úlohy od realizace tohoto potenciálu v rámci výuky a studovat, jak je matematický problém řešen v kontextu jeho použití ve výuce. Způsob práce s úlohou ve třídě, daný do velké míry učitelem a jeho pojetím výuky, totiž ovlivňuje kvalitu a druh matematických poznatků, které si žáci vytvářejí.
Výzkum provedený v rámci TIMSS 1999 Video Study (Hiebert a kol., 2003), v němž bylo analyzováno asi 100 videozáznamů hodin matematiky z každé ze sedmi zúčastněných zemí (včetně České republiky), ukázal, že velké procento potenciálně podnětných úloh, tedy úloh vedoucích ke konstrukci a upevňování matematických poznatků, hledání souvislostí apod., je ve výuce využito zcela instruktivně, tedy jejich potenciál není využit – v České republice se jednalo asi o 48 %. Instruktivním využitím rozumíme takové, při němž učitel např. rozfázuje řešení komplexní úlohy na úzce zaměřené úkoly, které sice žáci řešit dovedou, ovšem úloha jako celek jim uniká.
Pohled do školní praxe: anotace, analýza a alterace výukové situace
Anotace
Kontext výukové situace
Situace, kterou zde rozebíráme, pochází z vyučovací hodiny v 8. ročníku, která byla pořízena v rámci výše zmíněné videostudie TIMSS 1999. Jejím cílem bylo aplikovat Pythagorovu větu při řešení různorodých úloh. Konkrétně se podíváme na úlohu, která je nazvaná Štafle (Odvárko a Kadleček, 1999, s. 28, viz obr. č. 1):
Žebříky štaflí jsou dlouhé 2,6 m. U postavených štaflí jsou dolní konce žebříků od sebe vzdáleny 1,2 m.
a) Postavené štafle jsou nižší než 2,6 m. Odhadni, o kolik centimetrů.
b) Vypočítej výšku postavených štaflí. Výsledek zaokrouhli na celé centimetry.
Obrázek č. 1
Didaktické uchopení obsahu – činnosti učitele a žáků
Část 1 (23:45-25:56) Učitelka požádá žáka, aby úlohu z učebnice přečetl a aby žáci následně odhadovali, o kolik centimetrů jsou postavené štafle nižší. Někteří žáci – zdá se, že zejména dívky –, s tím mají problém. Učitelka se snaží vysvětlit, jak štafle fungují. Popisuje obrázek a žáci se dívají do svých učebnic. Přesto ani poté nehlasují o odhadu všichni.
Část 2 (25:56-34:20) Následuje společné řešení úlohy. Učitelka na tabuli kreslí situaci, tedy rovnoramenný trojúhelník představující štafle a výšku z horního vrcholu, a žáci ji sledují. Učitelka pokračuje tím, že nechává žáky na tabuli vyčárkovat pravoúhlý trojúhelník a pak barevně vyznačit přeponu a dopsat k výšce písmeno v. Když se učitelka následně zeptá, co se bude počítat, žáci navrhují mj. přeponu, ale učitelka vyvolává žáka, který říká správně, že hledat budeme odvěsnu.
Učitelka zakresluje vedle obrázku na tabuli pravoúhlý trojúhelník a označuje výšku v a zbylé dvě strany číslem. Žádá žáky, aby vyslovili Pythagorovu větu pro danou situaci. Postupně se na tabuli objeví hledaná rovnice. Žáci následně diktují jednotlivé části výpočtu a učitelka je zapisuje na tabuli – jedná se o dosazování, umocňování a odmocňování podle tabulek a odečítání. (Záznam je z roku 1999, kdy ještě žáci používali spíše Matematické tabulky než kalkulačku.) Učitelka dává velký důraz na to, aby umocňování a odmocňování pomocí tabulek všichni zvládli.
Část 3 (34:20-35:23) Když je rovnice vyřešena, mají žáci napsat odpověď, o kolik je výška štaflí nižší než délka žebříku. Někteří žáci, zdá se, situaci nechápou. Učitelka ukazuje znova na tabuli rukou, jak ty štafle „povyrostou“, když se dají obě jejich části dohromady. Nějaký žák se ale ptá, co ta druhá strana (zřejmě myslí ten druhý pravoúhlý trojúhelník). Učitelka situaci modeluje pomocí knihy, kterou pootevírá, a říká, že tam žádná druhá strana není; nakonec práci končí s tím, že si štafle půjčí od pana školníka.
Přepis části vyučovací hodiny (U – učitel, Ž – žák, ŽŽ – žáci)
U: Dobře, tak my si takový obrázek nakreslíme. [Kreslí na tabuli.] O jaký trojúhelník se tam jedná? Třeba Hana.
Ž: Rovnoramenný.
U: Rovnoramenný. Základnu… [kreslí] uprostřed základny dělám výšku, kreslíme, nikdo nerýsuje, [žáci kreslí do sešitu] a spouštím žebříky. Jeden žebřík … druhý žebřík.
U: Tak ještě jednou. Žebříky štaflí jsou dlouhé dvě celé šest. To znamená, tady je dvě celé šest desetin metru, tady je dvě celé šest desetin metru. [Dopisuje rozměry do obrázku.] Možná, že děvčata si neuměly představit, kde to je… Dolní konce toho žebříku jsou vzdáleny jedna celá dvě desetiny metru. A výška těch štaflí je vlastně výška toho trojúhelníka. [Obtahuje výšku trojúhelníka a vyznačuje i značku pravého úhlu u její paty.] Tak, takže my jsme se, děvčata, ptali, když tohle je dvě celé šest, o kolik asi je toto kratší. [Ukazuje na příslušné strany.] Ano? To jsme se ptali, jestli některá nevěděla, na co se ptám… Ještě jednou. Tady je takhle dvě celé šest, já jsem štafle otevřela, kdybych je nechala zavřené a postavila, budou vyšší, ano, budou mít to dvě celé šest. A my jsme se ptali, když je roztáhneme, o kolik to bude nižší… Ještě si netroufneme odhadnout? Ještě ne, každej dělá ne, tak ne.
U: Tak, pravoúhlý trojúhelník někdo zase vyčárkuje, jestli tam nějaký je. Pojď, Michale… [Michal jde k tabuli a správně vyčárkuje trojúhelník; ten napravo, u kterého učitelka vyznačila pravý úhel. Obr. 2.]
Obrázek č. 2
U: Výborně. Přeponu žlutě, Alena, ať si to vyjasníme. [Alena správně zvýrazňuje přeponu u vyšrafovaného trojúhelníku vpravo.]
U: Výborně. My máme vypočítat výšku, malé písmenko „v“, Martina… k výšce malé písmenko „v“. [Martina dopisuje malé písmenko v k výšce.] No doprostřed, doprostřed … výborně.
U: Teď se zadíváme na pravoúhlý trojúhelník, a kdo ví, zvedne ruku, jestli budu počítat přeponu, nebo odvěsnu.
ŽŽ: [málo zřetelně] přeponu … odvěsnu…
U: Kdo to ví, ruku nahoru. Pššt, proč křičíš, když já říkám, kdo ví, zvedne ruku, ano… a zadívám se pořádně a řeknu, jestli budu počítat velikost přepony, nebo odvěsny. [Povzbudivě.] Pšt, Petře. Tak kdo ví, ruku nahoru.
U: Je to jasný, Pavle, odvěsnu! Protože přepona je žlutá a má tam napsáno dvě celé šest, takže budu myslet.
U: Tak já bych sice měla ten pravoúhlý trojúhelníček, to je hezké. Znám velikost přepony, dvě celé šest, velikost odvěsny mám vypočítat, ale kolik je tahleta odvěsna? [Zvýrazňuje křídou horizontální odvěsnu vyšrafovaného trojúhelníka.] Ruku nahoru, Michal…
Ž: Žádná celá šest desetin.
U: Výborně, žádná celá šest desetin. Tak, vedle si vytáhneme ještě ten trojúhelníček, pravoúhlý… [Kreslí vedle původního obrázku vyšrafovaný trojúhelník a označuje ho.] A ještě jednou si napíšeme, dvě celé šest, žádná celá šest a pro nás písmenko … vé. [Žáci si kreslí do sešitu.] Tady máme pravý úhel. [Do nového trojúhelníku vyznačuje značku pro pravý úhel. Obr. 3 vlevo.]
U: A ruku nahoru, kdo ví vzoreček pro výpočet výšky, odvěsny vé? [Nikdo se nehlásí.] Hm, promyslíme. Můžete říct obecný vzoreček, já si to pro to véčko upravím. [Žáci váhají.]
U: Aleno?
Obrázek č. 3
Ž: Bé rovná se … bé na druhou rovná se cé na druhou mínus á na druhou. [Symbolický přepis by byl b2 = c2 – a2.]
U: Ano, […] vé na druhou rovná se cé na druhou mínus třeba bé na druhou. Dobře. Takže vé na druhou rovná se … [Píše v2 = c2 – b2.] Já jsem tady spíš měla napsat á na druhou, viď, obecně to nazvat, tak. [Maže v rovnici písmeno v a nahrazuje ho písmenem a. Obr. 3 horní řádek.]
U: Takže vé na druhou se rovná … dosaď mi tam, Jano, přepona je… Přepona [Jana nereaguje], žlutá je…
Ž: …dvě celé šest…
U: Dvě celé šest na druhou. Mínus, odvěsna je, Pavle…
Ž: Odvěsna je žádná celá šest.
U: Žádná celá šest. A už máme tabulky, kdo ví, ruku nahoru.
[Následuje výpočet pomocí tabulek – záznam je z roku 1999, kdy se ještě běžně kalkulačky nepoužívaly. Konečný výsledek učitelka dvakrát podtrhne.]
U: Takže výška postavených štaflí je dvě celé padesát tři setin metru. Žebříky jsou dvě celé šest desetin metru a my máme teď zjistit, jak jsme odhadovali, o kolik centimetrů jsou ty postavené štafle nižší než dvě celé šest desetin metru. O kolik centimetrů, kdo ví, ruku nahoru. Milan říká…
Ž: Sedm.
U: O sedm centimetrů. Protože to jsou dva metry … padesát tři centimetrů a my jsme měli dva metry a šedesát centimetrů. Takže je to o sedm centimetrů.
ŽŽ: [Nezřetelný protest. Učitelka na to reaguje dalším vysvětlováním.]
U: Výška štaflí je todleto … a o kolik je to nižší než dvě celé šest. Dvě celý šest je někam, dejme tomu sem. Když ty štafle dám k sobě, tak mně povyrostou, je to tak?
Ž: No ale, paní učitelko, ale… Ale co ta druhá strana?
U: Jaká druhá strana? Ty máš takhle ty štafle [obrací otevřenou knihu, kterou drží v ruce, hřbetem nahoru, a tak předvádí štafle] a když ty štafle dáš k sobě, tak se ty štafle [ukazuje na knize] tak se ty štafle zvýší. Ještě jednou, když to takhle otevřu, ano, tak je to nižší. Dám k sobě, tak se to zvýší. A já se ptám, o kolik se mi to tady zvýší. Tady žádná druhá strana není. Tady jde o prostředek, o tu výšku! Tady ta výška je dvě celé padesát tři, a když ty štafle zavřu takhle k sobě, tak ta výška je dvě šedesát [ukazuje na knížce a na obrázku na tabuli]. Takže je to o sedm centimetrů. Půjčíme si od pana školníka štafle, příště, a vyzkoušíme. Dobře.
Analýza
Předloženou situaci můžeme analyzovat z různých hledisek. My se soustředíme na fáze řešení úlohy.
Řešení podnětných úloh, tedy úloh, u nichž nestačí využít předem daný algoritmus, ale žák musí hledat strategii řešení, nebývá přímočaré. Řešitel se nejdříve snaží úlohu uchopit, získat do ní vhled, představit si danou situaci, případně ji zakreslit obrázkem, a současně hledá způsob, jak situaci matematicky popsat. Ne vždy se tento proces podaří na první pokus, někdy je třeba se k zadání opakovaně vracet, měnit matematický model, někdy se žáci dostanou do slepé uličky a musí začít znova apod.
Předpokládáme-li u zkoumané úlohy řešení, které je přímočaré, pak v něm můžeme rozlišit tyto kroky:
a) uchopit praktickou situaci matematickým obrázkem,
b) uvědomit si, že matematickým modelem je rovnoramenný trojúhelník,
c) uvědomit si, že klíčová pro řešení úlohy je výška, myšlená úsečka,
d) identifikovat v obrázku pravoúhlý trojúhelník a jeho průvodní jevy,
e) uvědomit si, že je situace řešitelná pomocí Pythagorovy věty,
f) sestavit pomocí Pythagorovy věty rovnici pro neznámou výšku štaflí, tedy vytvořit matematický model,
g) vyřešit rovnici,
h) interpretovat výsledek vzhledem k původní reálné situaci.
Podívejme se na situaci z hlediska činnosti žáků a učitele.
Ad a)–c) Obrázek je v knize již de facto k dispozici (obr. 1). Paní učitelka ho překresluje na tabuli – rovnoramenný trojúhelník, včetně jeho výšky, a vyznačuje pravý úhel dohodnutým symbolem. Klíčové pro řešení úlohy je pochopení toho, že výška štaflí se v obrázku promítne jako výška trojúhelníku a že tam tím pádem vznikne pravoúhlý trojúhelník, resp. dva trojúhelníky, což učitelka mlčky přechází a později se to ukáže jako nešťastné.
Ad d) Pravoúhlý trojúhelník vyznačuje v nákresu žák, ovšem situaci mu značně ulehčil již nakreslený znak pro pravý úhel. Jiní žáci na výzvu učitelky u tabule barevně obtahují přeponu tohoto trojúhelníka a označují výšku písmenkem.
Učitelka vedle daného obrázku zakresluje pravoúhlý trojúhelník a označuje výšku v a zbylé dvě strany číslem. To je z didaktického hlediska vhodné, protože při řešení planimetrických úloh je užitečné, když se klíčový objekt zvýrazní, abychom na něj samotný mohli zacílit pozornost. Jedná se o určitou metastrategickou dovednost, která může žákům přinést větší vhled do situace. Je známo, že pro řešení geometrických úloh je třeba, slovy Kuřiny (2011), umění vidět – jde o umění vidět v obrázku to, co je pro řešení důležité, a naopak zanedbat to, co je pouze pomocné, nebo dokonce matoucí. V tomto případě máme „vidět“ jen onen pravoúhlý trojúhelník a jeho shodný obraz zanedbáváme.
Ad e) To, že je situace řešitelná pomocí Pythagorovy věty, se mlčky předpokládá, neboť tak bylo stanoveno téma hodiny.
Ad f) Žákyně navrhla rovnici ve tvaru b2 = c2 – a2 bez ohledu na označení trojúhelníka (kde bylo písmeno v a dvě čísla), přičemž známou odvěsnu si označila a (ovšem nijak to neverbalizovala). Učitelka zřejmě očekávala trochu pozměněnou variantu (kde si známou odvěsnu označila b, ale také bez verbalizace), kterou bez ohledu na žákyni také zapsala v2 = c2 – b2 a následně se opravila na a: a2 = c2 – b2. Toto zmatení bylo dáno tendencí patrnou z celé vyučovací hodiny, z jejíhož záznamu předložená situace pochází, a sice ztotožnit Pythagorovu větu s vzorcem c2 = a2 + b2 (bez ohledu na to, jak jsou strany trojúhelníka označeny), což může vést k formálnímu uchopení (Hejný & Kuřina, 2009) této věty, kdy žáci neumějí sestavit vztah pro jinak označený trojúhelník. V této chvíli měla učitelka buď trojúhelník označit písmeny podle návrhu žákyně, nebo navést žáky na rovnici, která je na obrázku 3 ve druhém řádku a která odpovídá situaci na obrázku.
Ad g) V následném výpočtu žáci opět vykonávají jen intelektuálně méně náročné práce, které představují spíše rutinu – dosazování, umocňování a odmocňování podle tabulek a odečítání.
Ad h) Při interpretaci výsledku se projevuje nedostatečné pochopení výchozí situace, což učitelku vede k novému vysvětlování (včetně modelování pomocí otevřené knihy). Jeden z žáků se také ptá, co ta druhá strana (zřejmě myslí ten druhý pravoúhlý trojúhelník), což může znamenat, že nepochopil reprezentaci situace rovnoramenným trojúhelníkem a zřejmě ani roli výšky trojúhelníka jako výšky štaflí – za výšku štaflí mohl považovat spíše délku jejich žebříku. Domnívám se, že to ukazuje na podcenění fáze uchopení situace – tato fáze byla podstatně zkrácena a udělána pouze učitelkou. Navíc byla nedostatečně zdůrazněna role výšky i to, že pomocí ní vzniknou dva shodné trojúhelníky a stačí pracovat jen s jedním z nich.
Alterace
Posuzování kvality výukové situace
Úloha o štaflích je potenciálně podnětná úloha, ovšem v předložené situaci její potenciál podle mého názoru realizován nebyl. Fáze uchopování z hlediska žáka prakticky chyběla, klíčový krok, který otevíral bránu k řešení problému, udělala učitelka sama a na žácích nechala činnosti, které jsou intelektuálně nenáročné. Nutno zdůraznit, že se tak dělo v dobré víře, že řešení žákům usnadní.
Pozitivně můžeme spatřovat snahu učitelky zapojit co nejvíce žáků a určitou systematičnost přístupu k řešení úlohy, vedení k náčrtkům situace, vyznačení známých klíčových údajů v obrázku a zaměření pozornosti na klíčový objekt jeho překreslením.
Návrh alterace
Jeden z alternativních způsobů implementace dané úlohy by mohl vypadat např. takto:
- Učitelka nechá žáky, aby si představili a případně pomocí rozevřené knihy vymodelovali štafle.
- Úlohu zadá učitelka slovně, bez učebnice (navrhuji vynechat část odhadu – ten rozdíl ve výšce je tak malý, že těžko můžeme předpokládat, že by to někdo kvalifikovaně odhadl). Požádá žáky, aby si situaci načrtli. Projde jejich práce a vybere někoho, kdo situaci na tabuli načrtne. Nechá ostatní, aby náčrtek zhodnotili.
- Zavede diskusi na typ útvaru, který situaci reprezentuje. Pokud se v náčrtku neobjeví výška, zeptá se žáků, jak si představují výšku štaflí a co to vlastně výška je. Vede je k tomu, že v obrázku označí i značku pravého úhlu.
- Nechá žáky, aby vyznačili v obrázku známé údaje, označili neznámou v a identifikovali pravoúhlý trojúhelník. Vede je k tomu, aby si tento trojúhelník překreslili vedle.
- Nechá žáky sestavit vztah pro neznámou v.
- Nechá žáky řešit rovnici.
- Nechá žáky formulovat závěr.
Alteraci přirozeně nelze zapsat pomocí přepisu části vyučovací hodiny, neboť řešení dané úlohy se nyní stalo otevřenějším, není přímočaré a nelze ani předjímat, zda bude probíhat zde uvedeným způsobem. Slovem „nechá“ míním to, že učitelka řídí práci tak, aby vše pokud možno formulovali žáci. To ovšem neznamená, že je nechá bez pomoci. Je však třeba pečlivě vážit její míru.
Přezkoumání navržené alterace
Alterace se pokusila přenést těžiště matematické práce na žáka a upozadit roli učitele (ten však zůstává klíčovým agentem vyučování, neboť musí reagovat na předem nepředvídané situace).
ad a) Tím zajistíme dobré pochopení výchozí situace. Mohla by též proběhnout diskuse, co se stane, když budeme štafle rozevírat a zase zavírat. Žáci mohou použít rozevřenou knihu, obrácenou hřbetem nahoru, a tu zavírat a otevírat. Tímto jednoduchým pokusem získají představu, co se mění (kam až hřbet knihy dosáhne) a co zůstává stejné (délka desek knihy). Místo knihy je možné použít i např. kružítko.
ad b) Tím, že žáci obrázek jen nepřekreslují, ale přímo sami vytvářejí, získávají vhled do situace a uvědomují si, jaký geometrický útvar situaci reprezentuje. Je možné odkázat se na analogii z bodu a) a diskutovat se žáky o tom, co se mění (výška a základna rovnoramenného trojúhelníka) a co zůstává stejné (ramena).
ad c)–d) Těžiště práce se přenáší do matematiky – žáci pracují s matematickým modelem. Uvědomují si obsah Pythagorovy věty a učí se sestavit rovnici pro různě označené trojúhelníky.
ad e) Sestavení rovnice by mělo být na žácích. Pokud navrhnou rovnici ve tvaru, který neodpovídá označení obrázku, měla by učitelka iniciovat diskusi, při níž Pythagorova věta zazní i slovně, nejen symbolicky, a která povede k zápisu ve tvaru, který odpovídá obrázku.
Závěr
Z praxe víme, že implementace úloh může být u různých učitelů značně odlišná a že hraje klíčovou roli v tom, jaké poznatky si žáci z matematiky odnesou. Fakt, že učitelé v dobré víře rozmělňují úlohy, které jim připadají složité, na úzce zaměřené dílčí otázky, jež žáci umějí řešit, nebo za žáky provedou klíčovou fázi uchopení problému, je v didaktice matematiky dobře zdokumentován (např. Hiebert a kol., 2003; Boaler, 2002; Doyle, 1988; Stehlíková, 2007). Je důležité se nad těmito situacemi zamýšlet a promýšlet i jejich alternativní zpracování.
Navržená alterace s sebou nese určitá rizika. Necháme-li řešení na žácích, může se stát, že se dostanou do slepé uličky a nepodaří se úlohu rychle vyřešit. Domnívám se však, že žáci by k této autentické matematické činnosti měli dostat prostor. Role učitele je naprosto klíčová, protože on se musí na místě rozhodnout, kdy je nutno zasáhnout, jakým způsobem žáky nasměrovat apod. Protože jakkoli můžeme navrhovat různé alterace, vždy se jedná spíše o teoretické předpoklady, protože učitel musí vycházet z dané situace – tedy z toho, s jakými žáky pracuje. Žáci by však za každých okolností měli dostat možnost získat do situace vhled a alespoň se o řešení dané úlohy pokusit.
Literatura
Boaler, J. Experiencing School Mathematics. London: Lawrence Erlbaum Associates Publishers, 2002.
Doyle, W. Work in mathematics classes: The context of students‘ thinking during instruction. Educational Psychologist, 1988, roč. 23, č. 2, s. 167–180.
Hejný, M. a Kuřina, F. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál, 2001.
Hiebert, J. a kol. (eds.). Teaching mathematics in seven countries. Results from the TIMSS 1999 Video Study. USA: National Center for Education Statistics, 2003. Dostupné také z: http://nces.ed.gov/pubsearch
Kuřina, F. Matematika a řešení úloh. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2011.
Odvárko, O. a Kadleček, J. Matematika pro 8. ročník základní školy. 1. díl. Praha: Prometheus, 1999.
Stehlíková, N. Charakteristika kultury vyučování matematice. In: Hošpesová, A., Stehlíková, N. a Tichá, M. Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2007, s. 13–48.
